Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

$$\begin{array}{cc}\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{a}{c}& \sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{b}{c}\\ \cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{b}{c}& \cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{a}{c}\\ \mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{a}{b}& \mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{b}{a}\end{array}$$

Definicje funkcji trygonometrycznych

$$\begin{array}{lll}\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}& =& \frac{y}{r}\\ \cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}& =& \frac{x}{r}\\ \mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}& =& \frac{y}{x}\text{gdy}x\ne <!--\; \ne \; -->0\end{array}$$ gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}><!--\; >\; -->0$ jest promieniem wodzącym punktu $M$

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Związki między funkcjami tego samego kąta

$${\sin }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+{\cos }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1$$ $$\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\text{dla}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}+k<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\text{k - całkowite}$$

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych

Funkcje sumy i różnicy kątów

Dla dowolnych kątów $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$ zachodzą równości: $$\sin (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$ $$\sin (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$ $$\cos (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$ $$\cos (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$

Ponadto mamy równości: $$\mathrm{tg}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\frac{\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{1-<!--\; -\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}·<!--\; middot\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$ $$\mathrm{tg}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\frac{\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{1+\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}·<!--\; middot\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$ które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.

Funkcje podwojonego kąta

$$\sin 2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=2<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\cos 2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={\cos }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->{\sin }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=2<!--\; InvisibleTimes\; -->{\cos }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1=1-<!--\; -\; -->2<!--\; InvisibleTimes\; -->{\sin }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\mathrm{tg}2<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{2<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{tg}}^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$

Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych

$$\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=2<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}$$ $$\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=2<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}$$ $$\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=2<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}$$ $$\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=-<!--\; -\; --><!--\; InvisibleTimes\; -->2<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}$$ $$\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=-<!--\; -\; --><!--\; InvisibleTimes\; -->\frac{1}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->(\cos (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})-<!--\; -\; -->\cos (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}))$$ $$\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{1}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->(\cos (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+\cos (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}))$$ $$\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{1}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->(\sin (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+\sin (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}))$$

Wybrane wzory redukcyjne

$$\sin (90\mathrm{°<!--\; °\; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\sin (90\mathrm{°<!--\; °\; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\sin (180\mathrm{°<!--\; °\; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\sin (180\mathrm{°<!--\; °\; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=-<!--\; -\; --><!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\cos (90\mathrm{°<!--\; °\; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\cos (90\mathrm{°<!--\; °\; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=-<!--\; -\; --><!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\cos (180\mathrm{°<!--\; °\; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=-<!--\; -\; --><!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\cos (180\mathrm{°<!--\; °\; -->}+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=-<!--\; -\; --><!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$

Okresowość funkcji trygonometrycznych

$$\sin (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+k·<!--\; middot\; -->360\mathrm{°<!--\; °\; -->})=\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\cos (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+k·<!--\; middot\; -->360\mathrm{°<!--\; °\; -->})=\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\mathrm{tg}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+k·<!--\; middot\; -->180\mathrm{°<!--\; °\; -->})=\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $k$ - całkowite