Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem: | x | = x dla x 0 x dla x < 0

Liczba | x | jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0 .
Dla dowolnej liczby x mamy: | x | 0 | x | = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 | x | = | x |

Dla dowolnych liczb x y mamy: | x + y | | x | + | y | | x y | | x | + | y | | x · y | = | x | · | y |

Ponadto, jeśli y 0 , to: | x y | = | x | | y |

Dla dowolnych liczb a oraz r 0 mamy: | x a | r wtedy i tylko wtedy, gdy a r x a + r oraz | x a | r wtedy i tylko wtedy, gdy x a r lub x a + r

Potęgi i pierwiastki

Potęga

Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n -tą potęgę: a n = a · · a n razy

Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastkiem arytmetycznym a n stopnia n z liczby a 0 nazywamy liczbę b 0 taką, że b n = a .

W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość: a n = | a |

Jeżeli a 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to a n oznacza liczbę b < 0 taką, że b n = a .
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.

Niech m n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: dla a 0 : a n = 1 a n oraz a 0 = 1 dla a 0 : a m n = a m n dla a > 0 : a m n = 1 a m n

Niech r s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a > 0 i b > 0 , to zachodzą równości: a r · a s = a r + s a r s = a r · s a r a s = a r s ( a · b ) r = a r · b r ( a b ) r = a r b r

Jeżeli wykładniki r s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb a 0 b 0 .

Logarytmy

Logarytmem log a c dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a , aby otrzymać c : log a c = b wtedy i tylko wtedy, gdy a b = c

Rownoważnie: a log a c = c

Dla dowolnych liczb x > 0 y > 0 oraz r zachodzą wzory: log a ( x · y ) = log a x + log a y log a x r = r · log a x log a x y = log a x log a y

Wzór na zmianę podstawy logarytmu

Jeżeli a > 0 a 1 b > 0 b 1 oraz c > 0 , to: log b c = log a c log a b

Logarytm log 10 x można też zapisać jako log x lub lg x .

Silnia. Współczynnik dwumianowy

Silnia

Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1 do n włącznie: n ! = 1 · 2 · · n Ponadto przyjmujemy umowę, że 0 ! = 1 .

Dla dowolnej liczby całkowitej n 0 zachodzi związek: ( n + 1 ) ! = n ! · ( n + 1 )

Współczynnik dwumianowy (symbol Newtona)

Dla liczb całkowitych n k spełniających warunki 0 k n definiujemy współczynnik dwumianowy n k (symbol Newtona): n k = n ! k ! ( n k ) !

Zachodzą równości: n k = n ( n 1 ) ( n 2 ) · · ( n k + 1 ) k ! n k = n n k n 0 = 1 n n = 1

Wzór dwumianowy Newtona

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a b mamy: ( a + b ) n = n 0 a n + n 1 a n 1 b + + n k a n k b k + + n n 1 a b n 1 + n n b n

Wzory skróconego mnożenia

Dla dowolnych liczb a b : ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ( a b ) 2 = a 2 2 a b + b 2 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ( a b ) 3 = a 3 3 a 2 b + 3 a b 2 b 3

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a b zachodzi wzór: a n b n = ( a b ) ( a n 1 + a n 2 b + + a n k b k 1 + + a b n 2 + b n 1 )

W szczególności: a 2 b 2 = ( a b ) ( a + b ) a 3 b 3 = ( a b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 a b + b 2 ) a 2 1 = ( a 1 ) ( a + 1 ) a 3 1 = ( a 1 ) ( a 2 + a + 1 ) a 3 + 1 = ( a + 1 ) ( a 2 a + 1 ) a n 1 = ( a 1 ) ( 1 + a + + a n 1 )

Ciągi

Ciąg arytmetyczny

Wzór na n -ty wyraz ciągu arytmetycznego a n o pierwszym wyrazie a 1 i różnicy r : a n = a 1 + ( n 1 ) r

Wzór na sumę S n = a 1 + a 2 + + a n początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego: S n = a 1 + a n 2 · n = 2 a 1 + ( n 1 ) r 2 · n

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: a n = a n 1 + a n + 1 2 dla n 2

Ciąg geometryczny

Wzór na n -ty wyraz ciągu geometrycznego a n o pierwszym wyrazie a 1 i ilorazie q : a n = a 1 · q n - 1

Wzór na sumę S n = a 1 + a 2 + + a n początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego: S n = a 1 · 1 q n 1 q dla q 1 n · a 1 dla q = 1

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: a n 2 = a n 1 · a n + 1 dla n 2

Procent składany

Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p % w skali rocznej i kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem: K n = K · ( 1 + p 100 ) n

Funkcja kwadratowa

Postać ogólna

Postać ogólna funkcji kwadratowej: f ( x ) = a x 2 + b x + c gdzie: a 0 , x R

Postać kanoniczna

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: f ( x ) = a ( x p ) 2 + q gdzie: p = b 2 a q = Δ 4 a Δ = b 2 4 a c

Wykres

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych p q .
Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 , do dołu, gdy a < 0 .

Miejsca zerowe

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f ( x ) = a x 2 + b x + c (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania a x 2 + b x + c = 0 ), zależy od wyróżnika Δ = b 2 4 a c :

  • jeżeli Δ < 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych)
  • jeżeli Δ = 0 , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): x 1 = x 2 = b 2 a
  • jeżeli Δ > 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): x 1 = b Δ 2 a x 2 = b + Δ 2 a

Postać iloczynowa

Jeśli Δ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: f ( x ) = a ( x x 1 ) ( x x 2 )

Wzory Viéte'a

Jeżeli Δ 0 to: x 1 + x 2 = b a x 1 · x 2 = c a

Geometria analityczna

Odcinek

Długość odcinka o końcach w punktach A = x A y A , B = x B y B dana jest wzorem: | AB | = ( x B x A ) 2 + ( y B y A ) 2

Współrzędne środka odcinka AB : x A + x B 2 y A + y B 2

Wektory

Współrzędne wektora AB _ : AB _ = x B x A y B y A

Jeżeli u = u 1 u 2 , v = v 1 v 2 są wektorami, zaś a jest liczbą, to: u + v = u 1 + v 1 u 2 + v 2 a · u = a · u 1 a · u 2

Prosta

Równanie ogólne prostej: A x + B y + C = 0 gdzie A 2 + B 2 0 (tj. współczynniki A B nie są równocześnie równe 0 ).

Jeżeli:

  • A = 0 - to prosta jest równoległa do osi Ox
  • B = 0 - to prosta jest równoległa do osi Oy
  • C = 0 - to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych

Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy , to ma ona równanie kierunkowe: y = a x + b

Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej: a = tg α

Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina.

Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a , która przechodzi przez punkt P = x 0 y 0 : y = a ( x x 0 ) + y 0

Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty A = x A y A , B = x B y B : ( y y A ) ( x B x A ) ( y B y A ) ( x x A ) = 0

Prosta i punkt

Odległość punktu P = x 0 y 0 , od prostej o równaniu A x + B y + C = 0 jest dana wzorem: | A x 0 + B y 0 + C | A 2 + B 2

Para prostych

Dwie proste o równaniach kierunkowych: y = a 1 x + b 1 y = a 2 x + b 2 spełniają jeden z następujących warunków:

  • są równoległe, gdy a 1 = a 2
  • są prostopadłe, gdy a 1 a 2 = 1
  • tworzą kąt ostry φ i tg φ = | a 1 a 2 1 + a 1 a 2 |

Dwie proste o równaniach ogólnych: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

  • są równoległe, gdy A 1 B 2 A 2 B 1 = 0
  • są prostopadłe, gdy A 1 A 2 B 1 B 2 = 0
  • tworzą kąt ostry φ i tg φ = | A 1 B 2 A 2 B 1 A 1 A 2 + B 1 B 2 |

Trójkąt

Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A = x A y A , B = x B y B , C = x C y C , jest dane wzorem: P △ABC = 1 2 | ( x B x A ) ( y C y A ) ( y B y A ) ( x C x A ) |

Środek ciężkości trójkąta ABC , czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne: x A + x B + x C 3 y A + y B + y C 3

Przekształcenia geometryczne

  • przesunięcie o wektor u = a b przekształca punkt A = x y na punkt A = x + a y + b
  • symetria względem osi Ox przekształca punkt A = x y na punkt A = x y
  • symetria względem osi Oy przekształca punkt A = x y na punkt A = x y
  • symetria względem punktu a b przekształca punkt A = x y na punkt A = 2 a x 2 b y
  • jednokładność o środku w punkcie O i skali s 0 przekształca punkt A na punkt A taki, że O A _ = s · OA _ , a więc, jeśli O = x 0 y 0 , to jednokładność ta przekształca punkt A = x y na punkt A = s x + ( 1 s ) x 0 s y + ( 1 s ) y 0

Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku w punkcie S = a b i promieniu r > 0 : ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2 lub x 2 + y 2 2 a x 2 b y + c = 0 gdy r 2 = a 2 + b 2 c > 0 .

Planimetria

Cechy przystawania trójkątów

To, że dwa trójkąty ABC i DEF są przystające ( ABC DEF ), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów:

  • cecha przystawania bok – bok – bok:
    odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: AB = DE , AC = DF , BC = EF
  • cecha przystawania bok – kąt – bok:
    dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np. AB = DE , AC = DF , BAC = EDF
  • cecha przystawania kąt – bok – kąt:
    jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np. AB = DE , BAC = EDF , ABC = DEF

Cechy podobieństwa trójkątów

To, że dwa trójkąty ABC i DEF są podobne ( ABC DEF ), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów:

  • cecha podobieństwa bok – bok – bok:
    długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta, np. AB DE = AC DF = BC EF
  • cecha podobieństwa bok – kąt – bok:
    długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające, np. AB DE = AC DF , BAC = EDF
  • cecha podobieństwa kąt – kąt – kąt:
    dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta (więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające): BAC = EDF , ABC = DEF , ACB = DFE

Trójkąt

Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie ABC :

a b c
- długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków A B C
2 p = a + b + c
- obwód trójkąta
α β γ
- miary kątów przy wierzchołkach A B C
h a h b h c
- wysokości opuszczone z wierzchołków A B C
R r
- promienie okręgów opisanego i wpisanego

Twierdzenie sinusów

a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R

Twierdzenie cosinusów

a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos β c 2 = b 2 + c 2 2 a b cos γ

Wzory na pole trójkąta

P ABC = 1 2 · a · h a = 1 2 · b · h b = 1 2 · c · h c P ABC = 1 2 · a · b · sin γ = 1 2 · a · c · sin β = 1 2 · b · c · sin α P ABC = 1 2 a 2 sin β · sin γ sin α = 1 2 b 2 sin α · sin γ sin β = 1 2 c 2 sin α · sin β sin γ P ABC = a b c 4 R P ABC = r p P ABC = 2 R 2 · sin α · sin β · sin γ P ABC = p ( p a ) ( p b ) ( p c )

Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy: a 2 + b 2 = c 2

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas: h c 2 = AD · DB h c = a b c a = c · sin α = c · cos β a = b · tg α = b · 1 tg β R = 1 2 c r = a + b c 2 = p c

Trójkąt równoboczny

a
- długość boku
h
- wysokość trójkąta

h = a 3 2 R = 2 3 h r = 1 3 h P = a 2 3 4

Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

Różne proste AC i BD przecinają się w punkcie P , przy czym spełniony jest jeden z warunków:

  • punkt A leży wewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży wewnątrz odcinka PD lub
  • punkt A leży na zewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży na zewnątrz odcinka PD

Wówczas proste AB i CD są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy PA AC = PB BD

Czworokąty

Trapez

Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.
Wzór na pole trapezu: P = a + b 2 · h

Równoległobok

Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.
Wzory na pole równoległoboku: P = a h = a · b · sin α = 1 2 · AC · BD · sin φ

Romb

Czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości.
Wzory na pole rombu: P = a h = a 2 · sin α = 1 2 · AC · BD

Deltoid

Czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych.
Wzór na pole deltoidu: P = 1 2 · AC · BD

Koło

Wzór na pole koła o promieniu r : P = π r 2

Obwód koła o promieniu r : L = 2 π r

Wycinek koła

Wzór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: P = π r 2 · α 360 °

Długość łuku AB wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: l = 2 π r · α 360 °

Kąty w okręgu

Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe.
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na łukach równych, są równe.

Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą

Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB . Prosta AC jest styczna do tego okręgu w punkcie A . Wtedy AOB = 2 · CAB , przy czym wybieramy ten z kątów środkowych AOB , który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB .

Twierdzenie o odcinkach stycznych

Jeżeli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P , to PA = PB

Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej

Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie C . Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P , to PA · PB = PC 2

Okrąg opisany na czworokącie

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°: α + γ = β + δ = 180 °

Okrąg wpisany w czworokąt

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: a + c = b + d

Stereometria

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych

Prosta k przebija płaszczyznę w punkcie P . Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na tę płaszczyznę. Prosta m leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt P .
Wówczas prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej l .

Oznaczenia

P
pole powierzchni całkowitej
P p
pole podstawy
P b
pole powierzchni bocznej
V
objętość

Prostopadłościan

P = 2 ( a b + b c + a c ) V = a b c gdzie a b c są długościami krawędzi prostopadłościanu

Graniastosłup prosty

P b = 2 p · h V = P p · h gdzie 2 p jest obwodem podstawy graniastosłupa

Ostrosłup

V = 1 3 P p · h gdzie h jest wysokością ostrosłupa

Walec

P b = 2 π r h P = 2 π r ( r + h ) V = π r 2 h gdzie r jest promieniem podstawy, h - wysokością walca

Stożek

P b = π r l P = π r ( r + l ) V = 1 3 π r 2 h gdzie r jest promieniem podstawy, h - wysokością, l - długością tworzącej stożka

Kula

P = 4 π r 2 V = 4 3 π r 3 gdzie r jest promieniem kuli

Trygonometria

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

sin α = a c sin β = b c cos α = b c cos β = a c tg α = a b tg β = b a

Definicje funkcji trygonometrycznych

sin α = y r cos α = x r tg α = y x gdy x 0 gdzie r = x 2 + y 2 > 0 jest promieniem wodzącym punktu M

Wykresy funkcji trygonometrycznych

y = sin x

y = cos x

y = tg x

Związki między funkcjami tego samego kąta

sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α = sin α cos α dla α π 2 + k π k - całkowite

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych

α 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 °
0 π 6 π 4 π 3 π 2
sin α 0 1 2 2 2 3 2 1
cos α 1 3 2 2 2 1 2 0
tg α 0 3 3 1 3 nie istnieje

Funkcje sumy i różnicy kątów

Dla dowolnych kątów α β zachodzą równości: sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α β ) = sin α cos β cos α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β sin α sin β cos ( α β ) = cos α cos β + sin α sin β

Ponadto mamy równości: tg ( α + β ) = tg α + tg β 1 tg α · tg β tg ( α β ) = tg α tg β 1 + tg α · tg β które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.

Funkcje podwojonego kąta

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α 1 = 1 2 sin 2 α tg 2 α = 2 tg α 1 tg 2 α

Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α β 2 sin α sin β = 2 cos α + β 2 sin α β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α β 2 cos α cos β = 2 sin α + β 2 sin α β 2 sin α sin β = 1 2 ( cos ( α + β ) cos ( α β ) ) cos α cos β = 1 2 ( cos ( α + β ) + cos ( α β ) ) sin α cos β = 1 2 ( sin ( α + β ) + sin ( α β ) )

Wybrane wzory redukcyjne

sin ( 90 ° α ) = cos α sin ( 90 ° + α ) = cos α sin ( 180 ° α ) = sin α sin ( 180 ° + α ) = sin α cos ( 90 ° α ) = sin α cos ( 90 ° + α ) = sin α cos ( 180 ° α ) = cos α cos ( 180 ° + α ) = cos α

Okresowość funkcji trygonometrycznych

sin ( α + k · 360 ° ) = sin α cos ( α + k · 360 ° ) = cos α tg ( α + k · 180 ° ) = tg α k - całkowite

Kombinatoryka

Wariacje z powtórzeniami

Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa: n k

Wariacje bez powtórzeń

Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k ( 1 k n ) różnych wyrazów, jest równa: n · ( n 1 ) · · ( n k + 1 ) = n ! ( n k ) !

Permutacje

Liczba sposobów, na które n 1 różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa: n !

Kombinacje

Liczba sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać k ( 0 k n ) elementów, jest równa: n k

Rachunek prawdopodobieństwa

Własności prawdopodobieństwa

0 P A 1   dla każdego zdarzenia A Ω

P Ω = 1   Ω zdarzenie pewne

P = 0   zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω )

P A P B   gdy A B Ω

P A = 1 P A   gdzie A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A

P A B = P A + P B P A B   dla dowolnych zdarzeń A B Ω

P A B P A + P B   dla dowolnych zdarzeń A B Ω

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A Ω jest równe P A = | A | | Ω | gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A , zaś Ω liczbę elementów zbioru Ω .

Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech A B będą zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω , przy czym P B > 0 . Prawdopodobieństwem warunkowym P A B nazywamy liczbę P A B = P A B P B

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Jeżeli zdarzenia losowe B 1 B 2 B n zawarte w Ω spełniają warunki:

  1. B 1 B 2 B n są parami rozłączne, tzn. B i B j = dla i j 1 i n 1 j n ,
  2. B 1 B 2 B n = Ω ,
  3. P B i > 0 dla 1 i n ,

to dla każdego zdarzenia losowego A zawartego w Ω zachodzi równość P A = P A B 1 · P B 1 + P A B 2 · P B 2 + + P A B n · P B n

Parametry danych statystycznych

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna n liczb a 1 a 2 a n jest równa: a - = a 1 + a 2 + + a n n

Średnia ważona

Średnia ważona n liczb a 1 a 2 a n , którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi - odpowiednio: w 1 w 2 w n jest równa: w 1 · a 1 + w 2 · a 2 + + w n · a n w 1 + w 2 + + w n

Średnia geometryczna

Średnia geometryczna n nieujemnych liczb a 1 a 2 a n jest równa: a 1 · a 1 · · a n n

Mediana

Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru n danych liczbowych a 1 a 2 a 3 a n jest:

  • dla n nieparzystych: a n + 1 2 (środkowy wyraz ciągu)
  • dla n parzystych: 1 2 ( a n 2 + a n 2 + 1 ) (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu)

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancją n danych liczbowych a 1 a 2 a n o średniej arytmetycznej a - jest liczba: σ 2 = ( a 1 a - ) 2 + ( a 2 a - ) 2 + + ( a n a - ) 2 n = a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 n ( a - ) 2 Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

Granica ciągu

Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów

Dane są ciągi a n i b n , określone dla n 1 .
Jeżeli lim n a n = a oraz lim n b n = b , to lim n ( a n + b n ) = a + b lim n ( a n b n ) = a b lim n ( a n · b n ) = a · b Jeżeli ponadto b n 0 dla n 1 oraz b 0 , to lim n a n b n = a b

Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny a n , określony dla n 1 o ilorazie q .
Niech S n oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu a n , to znaczy ciąg określony wzorem S n = a 1 + a 2 + + a n dla n 1 . Jeżeli | q | < 1 , to ciąg S n ma granicę S = lim n S n = a 1 1 q Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu a n .

Pochodna funkcji

Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji

c · f ( x ) = c · f ( x ) dla c R f ( x ) + g ( x ) = f ( x ) + g ( x ) f ( x ) g ( x ) = f ( x ) g ( x ) f ( x ) · g ( x ) = f ( x ) · g ( x ) + f ( x ) · g ( x ) f ( x ) g ( x ) = f ( x ) · g ( x ) f ( x ) · g ( x ) g ( x ) 2 gdy g ( x ) 0

Pochodne niektórych funkcji

Niech a b c będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, n dowolną liczbą całkowitą.

funkcja pochodna funkcji
f ( x ) = c f ( x ) = 0
f ( x ) = a x + b f ( x ) = a
f ( x ) = a x 2 + b x + c f ( x ) = 2 a x + b
f ( x ) = a x , x 0 f ( x ) = a x 2
f ( x ) = x n f ( x ) = n x n 1

Równanie stycznej

Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x 0 , to równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x 0 dane jest wzorem y = a x + b gdzie współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej funkcji f w punkcie x 0 , to znaczy a = f ( x 0 ) , natomiast b = f ( x 0 ) f ( x 0 ) x 0 . Równanie stycznej możemy zapisać w postaci y = f ( x 0 ) · ( x x 0 ) + f ( x 0 )

Tablica wartości funkcji trygonometrycznych

α ° sin α cos β tg α β °
0 0,0000 0,0000 90
1 0,0175 0,0175 89
2 0,0349 0,0349 88
3 0,0523 0,0524 87
4 0,0698 0,0699 86
5 0,0872 0,0875 85
6 0,1045 0,1051 84
7 0,1219 0,1228 83
8 0,1392 0,1405 82
9 0,1564 0,1584 81
10 0,1736 0,1763 80
11 0,1908 0,1944 79
12 0,2079 0,2126 78
13 0,2250 0,2309 77
14 0,2419 0,2493 76
15 0,2588 0,2679 75
16 0,2756 0,2867 74
17 0,2924 0,3057 73
18 0,3090 0,3249 72
19 0,3256 0,3443 71
20 0,3420 0,3640 70
21 0,3584 0,3839 69
22 0,3746 0,4040 68
23 0,3907 0,4245 67
24 0,4067 0,4452 66
25 0,4226 0,4663 65
26 0,4384 0,4877 64
27 0,4540 0,5095 63
28 0,4695 0,5317 62
29 0,4848 0,5543 61
30 0,5000 0,5774 60
31 0,5150 0,6009 59
32 0,5299 0,6249 58
33 0,5446 0,6494 57
34 0,5592 0,6745 56
35 0,5736 0,7002 55
36 0,5878 0,7265 54
37 0,6018 0,7536 53
38 0,6157 0,7813 52
39 0,6293 0,8098 51
40 0,6428 0,8391 50
41 0,6561 0,8693 49
42 0,6691 0,9004 48
43 0,6820 0,9325 47
44 0,6947 0,9657 46
45 0,7071 1,0000 45
46 0,7193 1,0355 44
47 0,7314 1,0724 43
48 0,7431 1,1106 42
49 0,7547 1,1504 41
50 0,7660 1,1918 40
51 0,7771 1,2349 39
52 0,7880 1,2799 38
53 0,7986 1,3270 37
54 0,8090 1,3764 36
55 0,8192 1,4281 35
56 0,8290 1,4826 34
57 0,8387 1,5399 33
58 0,8480 1,6003 32
59 0,8572 1,6643 31
60 0,8660 1,7321 30
61 0,8746 1,8040 29
62 0,8829 1,8807 28
63 0,8910 1,9626 27
64 0,8988 2,0503 26
65 0,9063 2,1445 25
66 0,9135 2,2460 24
67 0,9205 2,3559 23
68 0,9272 2,4751 22
69 0,9336 2,6051 21
70 0,9397 2,7475 20
71 0,9455 2,9042 19
72 0,9511 3,0777 18
73 0,9563 3,2709 17
74 0,9613 3,4874 16
75 0,9659 3,7321 15
76 0,9703 4,0108 14
77 0,9744 4,3315 13
78 0,9781 4,7046 12
79 0,9816 5,1446 11
80 0,9848 5,6713 10
81 0,9877 6,3138 9
82 0,9903 7,1154 8
83 0,9925 8,1443 7
84 0,9945 9,5144 6
85 0,9962 11,4301 5
86 0,9976 14,3007 4
87 0,9986 19,0811 3
88 0,9994 28,6363 2
89 0,9998 57,2900 1
90 1,0000 - 0