Miejsca zerowe

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=a{x}^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania $a{x}^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c=0$), zależy od wyróżnika $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=b^2-<!--\; -\; -->4<!--\; InvisibleTimes\; -->ac$:

• jeżeli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}<0$, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych)
• jeżeli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=0$, to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): $$x_1=x_2=-<!--\; -\; -->\frac{b}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$$
• jeżeli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}>0$, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): $$x_1=\frac{-b-<!--\; -\; -->\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$$ $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$$