Granica ciągu

Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów

Dane są ciągi $\left(a_n\right)$ i $\left(b_n\right)$, określone dla $n\ge <!--\; \ge \; -->1$.
Jeżeli $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}<!--\; ApplyFunction\; -->a_n=a$ oraz $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}<!--\; ApplyFunction\; -->b_n=b$, to $$\begin{array}{ccc}\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}<!--\; ApplyFunction\; -->(a_n+b_n)& =& a+b\\ \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}<!--\; ApplyFunction\; -->(a_n-<!--\; -\; -->b_n)& =& a-<!--\; -\; -->b\\ \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}<!--\; ApplyFunction\; -->(a_n·<!--\; middot\; -->b_n)& =& a·<!--\; middot\; -->b\end{array}$$ Jeżeli ponadto $b_n\ne <!--\; \ne \; -->0$ dla $n\ge <!--\; \ge \; -->1$ oraz $b\ne <!--\; \ne \; -->0$, to $$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}<!--\; ApplyFunction\; -->\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}$$

Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_n\right)$, określony dla $n\ge <!--\; \ge \; -->1$ o ilorazie $q$.
Niech $\left(S_n\right)$ oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$, to znaczy ciąg określony wzorem $S_n=a_1+a_2+\mathrm{\cdots <!--\; ctdot\; -->}+a_n$ dla $n\ge <!--\; \ge \; -->1$. Jeżeli $\left|q\right|<1$, to ciąg $\left(S_n\right)$ ma granicę $$S=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}<!--\; ApplyFunction\; -->S_n=\frac{a_1}{1-<!--\; -\; -->q}$$ Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$.