Planimetria

Cechy przystawania trójkątów

To, że dwa trójkąty $ABC$ i $DEF$ są przystające ( $△ ABC \equiv △ DEF$ ), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów:

cecha przystawania bok – bok – bok:
odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: $|AB| = |DE|$ , $|AC| = |DF|$ , $|BC| = |EF|$
cecha przystawania bok – kąt – bok:
dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np. $|AB| = |DE|$ , $|AC| = |DF|$ , $|∡ BAC| = |∡ EDF|$
cecha przystawania kąt – bok – kąt:
jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np. $|AB| = |DE|$ , $|∡ BAC| = |∡ EDF|$ , $|∡ ABC| = |∡ DEF|$

Cechy podobieństwa trójkątów

To, że dwa trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne ( $△ ABC \sim △ DEF$ ), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów:

cecha podobieństwa bok – bok – bok:
długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta, np. $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|} = \frac{|BC|}{|EF|}$
cecha podobieństwa bok – kąt – bok:
długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające, np. $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|AC|}{|DF|}$ , $|∡ BAC| = |∡ EDF|$
cecha podobieństwa kąt – kąt – kąt:
dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta (więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające): $|∡ BAC| = |∡ EDF|$ , $|∡ ABC| = |∡ DEF|$ , $|∡ ACB| = |∡ DFE|$

Trójkąt

Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie $ABC$ :

$a, b, c$: - długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków $A, B, C$
$2 p = a + b + c$: - obwód trójkąta
$α, β, γ$: - miary kątów przy wierzchołkach $A, B, C$
$h_{a}, h_{b}, h_{c}$: - wysokości opuszczone z wierzchołków $A, B, C$
$R, r$: - promienie okręgów opisanego i wpisanego

Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

W trójkącie $ABC$ kąt $γ$ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że kąt $γ$ jest prosty. Wówczas: $\begin{matrix} h_{c}^{2} & = & |AD| \cdot |DB| \\ h_{c} & = & \frac{a b}{c} \\ a & = & c \cdot \sin α = c \cdot \cos β \\ a & = & b \cdot tg α = b \cdot \frac{1}{tg β} \\ R & = & \frac{1}{2} c \\ r & = & \frac{a + b - c}{2} = p - c \end{matrix}$

Twierdzenie sinusów

$\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ} = 2 R$

Twierdzenie cosinusów

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$ $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β$ $c^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 a b \cos γ$

Wzory na pole trójkąta

$\begin{array}{l} P_{△ ABC} & = & \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} \\ P_{△ ABC} & = & \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin γ = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin β = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin α \\ P_{△ ABC} & = & \frac{1}{2} a^{2} \frac{\sin β \cdot \sin γ}{\sin α} = \frac{1}{2} b^{2} \frac{\sin α \cdot \sin γ}{\sin β} = \frac{1}{2} c^{2} \frac{\sin α \cdot \sin β}{\sin γ} \\ P_{△ ABC} & = & \frac{a b c}{4 R} \\ P_{△ ABC} & = & r p \\ P_{△ ABC} & = & 2 R^{2} \cdot \sin α \cdot \sin β \cdot \sin γ \\ P_{△ ABC} & = & \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \end{array}$

Trójkąt równoboczny

$a$: - długość boku
$h$: - wysokość trójkąta

$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ $R = \frac{2}{3} h$ $r = \frac{1}{3} h$ $P_{△} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

Różne proste $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $P$ , przy czym spełniony jest jeden z warunków:

punkt $A$ leży wewnątrz odcinka $PC$ oraz punkt $B$ leży wewnątrz odcinka $PD$ lub
punkt $A$ leży na zewnątrz odcinka $PC$ oraz punkt $B$ leży na zewnątrz odcinka $PD$

Wówczas proste $AB$ i $CD$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $\frac{|PA|}{|AC|} = \frac{|PB|}{|BD|}$

Czworokąty

Trapez

Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.
Wzór na pole trapezu: $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Równoległobok

Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.
Wzory na pole równoległoboku: $P = a h = a \cdot b \cdot \sin α = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| \cdot \sin φ$

Romb

Czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości.
Wzory na pole rombu: $P = a h = a^{2} \cdot \sin α = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD|$

Deltoid

Czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych.
Wzór na pole deltoidu: $P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD|$

Koło

Wzór na pole koła o promieniu $r$ : $P = π r^{2}$

Obwód koła o promieniu $r$ : $L = 2 π r$

Wycinek koła

Wzór na pole wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $α$ wyrażonym w stopniach: $P = π r^{2} \cdot \frac{α}{360 °}$

Długość łuku $AB$ wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: $l = 2 π r \cdot \frac{α}{360 °}$

Kąty w okręgu

Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe.
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na łukach równych, są równe.

Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą

Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$ i jego cięciwa $AB$ . Prosta $AC$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ . Wtedy $|∡ AOB| = 2 \cdot |∡ CAB|$ , przy czym wybieramy ten z kątów środkowych $AOB$ , który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta $CAB$ .

Twierdzenie o odcinkach stycznych

Jeżeli styczne do okręgu w punktach $A$ i $B$ przecinają się w punkcie $P$ , to $|PA| = |PB|$

Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej

Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach $A$ i $B$ oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie $C$ . Jeżeli proste te przecinają się w punkcie $P$ , to $|PA| \cdot |PB| = {|PC|}^{2}$

Okrąg opisany na czworokącie

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°: $α + γ = β + δ = 180 °$

Okrąg wpisany w czworokąt

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: $a + c = b + d$