Planimetria

Cechy przystawania trójkątów

To, że dwa trójkąty ABC i DEF są przystające ( ABC DEF ), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów:

  • cecha przystawania bok – bok – bok:
    odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: AB = DE , AC = DF , BC = EF
  • cecha przystawania bok – kąt – bok:
    dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np. AB = DE , AC = DF , BAC = EDF
  • cecha przystawania kąt – bok – kąt:
    jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np. AB = DE , BAC = EDF , ABC = DEF

Cechy podobieństwa trójkątów

To, że dwa trójkąty ABC i DEF są podobne ( ABC DEF ), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów:

  • cecha podobieństwa bok – bok – bok:
    długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta, np. AB DE = AC DF = BC EF
  • cecha podobieństwa bok – kąt – bok:
    długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające, np. AB DE = AC DF , BAC = EDF
  • cecha podobieństwa kąt – kąt – kąt:
    dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta (więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające): BAC = EDF , ABC = DEF , ACB = DFE

Trójkąt

Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie ABC :

a b c
- długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków A B C
2 p = a + b + c
- obwód trójkąta
α β γ
- miary kątów przy wierzchołkach A B C
h a h b h c
- wysokości opuszczone z wierzchołków A B C
R r
- promienie okręgów opisanego i wpisanego

Twierdzenie sinusów

a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R

Twierdzenie cosinusów

a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos β c 2 = b 2 + c 2 2 a b cos γ

Wzory na pole trójkąta

P ABC = 1 2 · a · h a = 1 2 · b · h b = 1 2 · c · h c P ABC = 1 2 · a · b · sin γ = 1 2 · a · c · sin β = 1 2 · b · c · sin α P ABC = 1 2 a 2 sin β · sin γ sin α = 1 2 b 2 sin α · sin γ sin β = 1 2 c 2 sin α · sin β sin γ P ABC = a b c 4 R P ABC = r p P ABC = 2 R 2 · sin α · sin β · sin γ P ABC = p ( p a ) ( p b ) ( p c )

Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy: a 2 + b 2 = c 2

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas: h c 2 = AD · DB h c = a b c a = c · sin α = c · cos β a = b · tg α = b · 1 tg β R = 1 2 c r = a + b c 2 = p c

Trójkąt równoboczny

a
- długość boku
h
- wysokość trójkąta

h = a 3 2 R = 2 3 h r = 1 3 h P = a 2 3 4

Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

Różne proste AC i BD przecinają się w punkcie P , przy czym spełniony jest jeden z warunków:

  • punkt A leży wewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży wewnątrz odcinka PD lub
  • punkt A leży na zewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży na zewnątrz odcinka PD

Wówczas proste AB i CD są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy PA AC = PB BD

Czworokąty

Trapez

Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.
Wzór na pole trapezu: P = a + b 2 · h

Równoległobok

Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.
Wzory na pole równoległoboku: P = a h = a · b · sin α = 1 2 · AC · BD · sin φ

Romb

Czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości.
Wzory na pole rombu: P = a h = a 2 · sin α = 1 2 · AC · BD

Deltoid

Czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych.
Wzór na pole deltoidu: P = 1 2 · AC · BD

Koło

Wzór na pole koła o promieniu r : P = π r 2

Obwód koła o promieniu r : L = 2 π r

Wycinek koła

Wzór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: P = π r 2 · α 360 °

Długość łuku AB wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: l = 2 π r · α 360 °

Kąty w okręgu

Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe.
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na łukach równych, są równe.

Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą

Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB . Prosta AC jest styczna do tego okręgu w punkcie A . Wtedy AOB = 2 · CAB , przy czym wybieramy ten z kątów środkowych AOB , który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB .

Twierdzenie o odcinkach stycznych

Jeżeli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P , to PA = PB

Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej

Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie C . Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P , to PA · PB = PC 2

Okrąg opisany na czworokącie

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°: α + γ = β + δ = 180 °

Okrąg wpisany w czworokąt

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: a + c = b + d