Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(a_n\right)$, określony dla $n\ge <!--\; \ge \; -->1$ o ilorazie $q$.
Niech $\left(S_n\right)$ oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$, to znaczy ciąg określony wzorem $S_n=a_1+a_2+\mathrm{\cdots <!--\; ctdot\; -->}+a_n$ dla $n\ge <!--\; \ge \; -->1$. Jeżeli $\left|q\right|<1$, to ciąg $\left(S_n\right)$ ma granicę $$S=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}<!--\; ApplyFunction\; -->S_n=\frac{a_1}{1-<!--\; -\; -->q}$$ Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$.