Własności prawdopodobieństwa

$0\le <!--\; \le \; -->P\left(A\right)\le <!--\; \le \; -->1$   dla każdego zdarzenia $A\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$

$P\left(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\right)=1$   $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ — zdarzenie pewne

$P\left(\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\right)=0$   $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$ — zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$)

$P\left(A\right)\le <!--\; \le \; -->P\left(B\right)$   gdy $A\subset <!--\; \subset \; -->B\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$

$P\left(A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\right)=1-<!--\; -\; -->P\left(A\right)$   gdzie $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A$

$P\left(A∪B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-<!--\; -\; -->P\left(A∩B\right)$   dla dowolnych zdarzeń $A,B\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$

$P\left(A∪B\right)\le <!--\; \le \; -->P\left(A\right)+P\left(B\right)$   dla dowolnych zdarzeń $A,B\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Niech $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia $A\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ jest równe $$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\right|}$$ gdzie $A$ oznacza liczbę elementów zbioru $A$, zaś $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ — liczbę elementów zbioru $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$.

Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech $A,B$ będą zdarzeniami losowymi zawartymi w $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$, przy czym $P\left(B\right)><!--\; >\; -->0$. Prawdopodobieństwem warunkowym $P\left(A|B\right)$ nazywamy liczbę $$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A∩B\right)}{P\left(B\right)}$$

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Jeżeli zdarzenia losowe $B_1,B_2,\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->},B_n$ zawarte w $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ spełniają warunki:

1. $B_1,B_2,\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->},B_n$ są parami rozłączne, tzn. $B_i\cap B_j=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\text{dla}i\ne <!--\; \ne \; -->j,1\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->n,1\le <!--\; \le \; -->j\le <!--\; \le \; -->n$,
2. $B_1∪B_2∪\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}∪B_n=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$,
3. $P\left(B_i\right)><!--\; >\; -->0$ dla $1\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->n$,

to dla każdego zdarzenia losowego $A$ zawartego w $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ zachodzi równość $$P\left(A\right)=P\left(A|B_1\right)·<!--\; middot\; -->P\left(B_1\right)+P\left(A|B_2\right)·<!--\; middot\; -->P\left(B_2\right)+\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}+P\left(A|B_n\right)·<!--\; middot\; -->P\left(B_n\right)$$