Odcinek

Długość odcinka o końcach w punktach $A=\left(x_A,y_A\right)$, $B=\left(x_B,y_B\right)$ dana jest wzorem: $$\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{(x_B-<!--\; -\; -->x_A)}^2+{(y_B-<!--\; -\; -->y_A)}^2}$$

Współrzędne środka odcinka $\mathrm{AB}$: $$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Wektory

Współrzędne wektora $\stackrel{\_}{\mathrm{AB}}$: $$\stackrel{\_}{\mathrm{AB}}=\left[x_B-<!--\; -\; -->x_A,y_B-<!--\; -\; -->y_A\right]$$

Jeżeli $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}=\left[u_1,u_2\right]$, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=\left[v_1,v_2\right]$ są wektorami, zaś $a$ jest liczbą, to: $$\begin{array}{ccc}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}& =& \left[u_1+v_1,u_2+v_2\right]\\ a·<!--\; middot\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}& =& \left[a·<!--\; middot\; -->u_1,a·<!--\; middot\; -->u_2\right]\end{array}$$

Prosta

Równanie ogólne prostej: $$A<!--\; InvisibleTimes\; -->x+B<!--\; InvisibleTimes\; -->y+C=0$$ gdzie $A^2+B^2\ne <!--\; \ne \; -->0$ (tj. współczynniki $A,B$ nie są równocześnie równe $0$ ).

Jeżeli:

• $A=0$ - to prosta jest równoległa do osi $\mathrm{Ox}$
• $B=0$ - to prosta jest równoległa do osi $\mathrm{Oy}$
• $C=0$ - to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych

Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi $\mathrm{Oy}$, to ma ona równanie kierunkowe: $$y=a<!--\; InvisibleTimes\; -->x+b$$

Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy prostej: $$a=\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$

Współczynnik $b$ wyznacza na osi $\mathrm{Oy}$ punkt, w którym dana prosta ją przecina.

Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym $a$, która przechodzi przez punkt $P=\left(x_0,y_0\right)$: $$y=a<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-<!--\; -\; -->x_0)+y_0$$

Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty $A=\left(x_A,y_A\right)$, $B=\left(x_B,y_B\right)$: $$(y-<!--\; -\; -->y_A)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x_B-<!--\; -\; -->x_A)-<!--\; -\; -->(y_B-<!--\; -\; -->y_A)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-<!--\; -\; -->x_A)=0$$

Prosta i punkt

Odległość punktu $P=\left(x_0,y_0\right)$, od prostej o równaniu $$A<!--\; InvisibleTimes\; -->x+B<!--\; InvisibleTimes\; -->y+C=0$$ jest dana wzorem: $$\frac{|A<!--\; InvisibleTimes\; -->x_0+B<!--\; InvisibleTimes\; -->y_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Para prostych

Dwie proste o równaniach kierunkowych: $$y=a_1<!--\; InvisibleTimes\; -->x+b_1$$ $$y=a_2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+b_2$$ spełniają jeden z następujących warunków:

• są równoległe, gdy $a_1=a_2$
• są prostopadłe, gdy $a_1<!--\; InvisibleTimes\; -->a_2=-<!--\; -\; -->1$
• tworzą kąt ostry $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$ i $$\mathrm{tg}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\left|\frac{a_1-<!--\; -\; -->a_2}{1+a_1<!--\; InvisibleTimes\; -->a_2}\right|$$

Dwie proste o równaniach ogólnych: $$A_1<!--\; InvisibleTimes\; -->x+B_1<!--\; InvisibleTimes\; -->y+C_1=0$$ $$A_2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+B_2<!--\; InvisibleTimes\; -->y+C_2=0$$

• są równoległe, gdy $A_1<!--\; InvisibleTimes\; -->B_2-<!--\; -\; -->A_2<!--\; InvisibleTimes\; -->B_1=0$
• są prostopadłe, gdy $A_1<!--\; InvisibleTimes\; -->A_2-<!--\; -\; -->B_1<!--\; InvisibleTimes\; -->B_2=0$
• tworzą kąt ostry $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$ i $$\mathrm{tg}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\left|\frac{A_1<!--\; InvisibleTimes\; -->B_2-<!--\; -\; -->A_2<!--\; InvisibleTimes\; -->B_1}{A_1<!--\; InvisibleTimes\; -->A_2+B_1<!--\; InvisibleTimes\; -->B_2}\right|$$

Trójkąt

Pole trójkąta $\mathrm{ABC}$ o wierzchołkach $A=\left(x_A,y_A\right)$, $B=\left(x_B,y_B\right)$, $C=\left(x_C,y_C\right)$, jest dane wzorem: $$P_{\text{△ABC}}=\frac{1}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->|(x_B-<!--\; -\; -->x_A)<!--\; InvisibleTimes\; -->(y_C-<!--\; -\; -->y_A)-<!--\; -\; -->(y_B-<!--\; -\; -->y_A)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x_C-<!--\; -\; -->x_A)|$$

Środek ciężkości trójkąta $\mathrm{ABC}$, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne: $$\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$$

Przekształcenia geometryczne

• przesunięcie o wektor $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}=\left[a,b\right]$ przekształca punkt $A=\left(x,y\right)$ na punkt $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\left(x+a,y+b\right)$
• symetria względem osi $\mathrm{Ox}$ przekształca punkt $A=\left(x,y\right)$ na punkt $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\left(x,-<!--\; -\; -->y\right)$
• symetria względem osi $\mathrm{Oy}$ przekształca punkt $A=\left(x,y\right)$ na punkt $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\left(-<!--\; -\; -->x,y\right)$
• symetria względem punktu $\left(a,b\right)$ przekształca punkt $A=\left(x,y\right)$ na punkt $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\left(2<!--\; InvisibleTimes\; -->a-<!--\; -\; -->x,2<!--\; InvisibleTimes\; -->b-<!--\; -\; -->y\right)$
• jednokładność o środku w punkcie $O$ i skali $s\mathrm{\ne <!--\; \ne \; -->}0$ przekształca punkt $A$ na punkt $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$ taki, że $\stackrel{\_}{O{A}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}=s·<!--\; middot\; -->\stackrel{\_}{\mathrm{OA}}$, a więc, jeśli $O=\left(x_0,y_0\right)$, to jednokładność ta przekształca punkt $A=\left(x,y\right)$ na punkt $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\left(s<!--\; InvisibleTimes\; -->x+(1-<!--\; -\; -->s)<!--\; InvisibleTimes\; -->x_0,s<!--\; InvisibleTimes\; -->y+(1-<!--\; -\; -->s)<!--\; InvisibleTimes\; -->y_0\right)$

Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku w punkcie $S=\left(a,b\right)$ i promieniu $r><!--\; >\; -->0$: $${(x-<!--\; -\; -->a)}^2+{(y-<!--\; -\; -->b)}^2=r^2$$ lub $$x^2+y^2-<!--\; -\; -->2<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->x-<!--\; -\; -->2<!--\; InvisibleTimes\; -->b<!--\; InvisibleTimes\; -->y+c=0$$ gdy $r^2=a^2+b^2-<!--\; -\; -->c><!--\; >\; -->0$.