Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

W trójkącie $\mathrm{ABC}$ kąt $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy: $$a^2+b^2=c^2$$

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że kąt $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$ jest prosty. Wówczas: $$\begin{array}{ccc}{h}_c^2& =& \left|\mathrm{AD}\right|·<!--\; middot\; -->\left|\mathrm{DB}\right|\\ h_c& =& \frac{a<!--\; InvisibleTimes\; -->b}{c}\\ a& =& c·<!--\; middot\; -->\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=c·<!--\; middot\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\\ a& =& b·<!--\; middot\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=b·<!--\; middot\; -->\frac{1}{\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\\ R& =& \frac{1}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->c\\ r& =& \frac{a+b-<!--\; -\; -->c}{2}=p-<!--\; -\; -->c\end{array}$$

Twierdzenie sinusów

$$\frac{a}{\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{b}{\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{c}{\sin \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}=2<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{R}$$

Twierdzenie cosinusów

$$a^2=b^2+c^2-<!--\; -\; -->2<!--\; InvisibleTimes\; -->b<!--\; InvisibleTimes\; -->c<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$b^2=a^2+c^2-<!--\; -\; -->2<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->c<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$ $$c^2=b^2+c^2-<!--\; -\; -->2<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->b<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$

Wzory na pole trójkąta

$$\begin{array}{lll}{P}_{△\mathrm{ABC}}& =& \frac{1}{2}·<!--\; middot\; -->a·<!--\; middot\; -->h_a=\frac{1}{2}·<!--\; middot\; -->b·<!--\; middot\; -->h_b=\frac{1}{2}·<!--\; middot\; -->c·<!--\; middot\; -->h_c\\ P_{△\mathrm{ABC}}& =& \frac{1}{2}·<!--\; middot\; -->a·<!--\; middot\; -->b·<!--\; middot\; -->\sin \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{1}{2}·<!--\; middot\; -->a·<!--\; middot\; -->c·<!--\; middot\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{1}{2}·<!--\; middot\; -->b·<!--\; middot\; -->c·<!--\; middot\; -->\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\\ P_{△\mathrm{ABC}}& =& \frac{1}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->a^2<!--\; InvisibleTimes\; -->\frac{\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}·<!--\; middot\; -->\sin \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{1}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->b^2<!--\; InvisibleTimes\; -->\frac{\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}·<!--\; middot\; -->\sin \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}{\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{1}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->c^2<!--\; InvisibleTimes\; -->\frac{\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}·<!--\; middot\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{\sin \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}\\ P_{△\mathrm{ABC}}& =& \frac{a<!--\; InvisibleTimes\; -->b<!--\; InvisibleTimes\; -->c}{4<!--\; InvisibleTimes\; -->R}\\ P_{△\mathrm{ABC}}& =& r<!--\; InvisibleTimes\; -->p\\ P_{△\mathrm{ABC}}& =& 2<!--\; InvisibleTimes\; -->R^2·<!--\; middot\; -->\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}·<!--\; middot\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}·<!--\; middot\; -->\sin \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\\ P_{△\mathrm{ABC}}& =& \sqrt{p<!--\; InvisibleTimes\; -->(p-<!--\; -\; -->a)<!--\; InvisibleTimes\; -->(p-<!--\; -\; -->b)<!--\; InvisibleTimes\; -->(p-<!--\; -\; -->c)}\end{array}$$

Trójkąt równoboczny

$a$

- długość boku

$h$

- wysokość trójkąta

$$h=\frac{a<!--\; InvisibleTimes\; -->\sqrt{3}}{2}$$ $$R=\frac{2}{3}<!--\; InvisibleTimes\; -->h$$ $$r=\frac{1}{3}<!--\; InvisibleTimes\; -->h$$ $$P_{△}=\frac{a^2<!--\; InvisibleTimes\; -->\sqrt{3}}{4}$$