Trójkąt

Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie ABC :

a b c
- długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków A B C
2 p = a + b + c
- obwód trójkąta
α β γ
- miary kątów przy wierzchołkach A B C
h a h b h c
- wysokości opuszczone z wierzchołków A B C
R r
- promienie okręgów opisanego i wpisanego

Twierdzenie sinusów

a sin α = b sin β = c sin γ = 2 R

Twierdzenie cosinusów

a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos β c 2 = b 2 + c 2 2 a b cos γ

Wzory na pole trójkąta

P ABC = 1 2 · a · h a = 1 2 · b · h b = 1 2 · c · h c P ABC = 1 2 · a · b · sin γ = 1 2 · a · c · sin β = 1 2 · b · c · sin α P ABC = 1 2 a 2 sin β · sin γ sin α = 1 2 b 2 sin α · sin γ sin β = 1 2 c 2 sin α · sin β sin γ P ABC = a b c 4 R P ABC = r p P ABC = 2 R 2 · sin α · sin β · sin γ P ABC = p ( p a ) ( p b ) ( p c )

Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy: a 2 + b 2 = c 2

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas: h c 2 = AD · DB h c = a b c a = c · sin α = c · cos β a = b · tg α = b · 1 tg β R = 1 2 c r = a + b c 2 = p c

Trójkąt równoboczny

a
- długość boku
h
- wysokość trójkąta

h = a 3 2 R = 2 3 h r = 1 3 h P = a 2 3 4