Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej $x$ definiujemy wzorem: $$\left|x\right|=\left\{\begin{array}{cc}x& dlax\ge <!--\; \ge \; -->0\\ -<!--\; -\; -->x& dlax<0\end{array}\right.$$

Liczba $\left|x\right|$ jest to odległość na osi liczbowej punktu $x$ od punktu $0$. W szczególności: $$\begin{array}{ccc}\left|x\right|& \ge <!--\; \ge \; -->& 0\\ |-<!--\; -\; -->x|& =& \left|x\right|\end{array}$$

Dla dowolnych liczb $x,y$ mamy: $$\begin{array}{ccc}|x+y|& \le <!--\; \le \; -->& \left|x\right|+\left|y\right|\\ |x-<!--\; -\; -->y|& \le <!--\; \le \; -->& \left|x\right|+\left|y\right|\\ |x·<!--\; middot\; -->y|& =& \left|x\right|·<!--\; middot\; -->\left|y\right|\end{array}$$

Ponadto, jeśli $y\ne <!--\; \ne \; -->0$, to: $$\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}$$

Dla dowolnych liczb $a$ oraz $r\ge <!--\; \ge \; -->0$ mamy warunki równoważne: $$\begin{array}{ccc}|x-<!--\; -\; -->a|\le <!--\; \le \; -->r& \leftrightarrow <!--\; \iff \; -->& a-<!--\; -\; -->r\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->a+r\\ |x-<!--\; -\; -->a|\ge <!--\; \ge \; -->r& \leftrightarrow <!--\; \iff \; -->& x\le <!--\; \le \; -->a-<!--\; -\; -->r\text{lub}x\ge <!--\; \ge \; -->a+r\end{array}$$