Potęgi i pierwiastki

Potęga

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby $a$ definiujemy jej $n$ -tą potęgę: $a^{n} = \underset{n razy}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}}$

Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastkiem arytmetycznym $\sqrt[n]{a}$ stopnia $n$ z liczby $a \geq 0$ nazywamy liczbę $b \geq 0$ taką, że $b^{n} = a$ .

W szczególności, dla dowolnej liczby $a$ zachodzi równość: $\sqrt{a^{n}} = | a |$

Jeżeli $a \leq 0$ oraz liczba $n$ jest nieparzysta, to $\sqrt[n]{a}$ oznacza liczbę $b < 0$ taką, że $b^{n} = a$ .
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.

Niech $m, n$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: $\begin{matrix} dla a \neq 0 : & a^{- n} & = & \frac{1}{a^{n}} oraz a^{0} = 1 \\ dla a \geq 0 : & a^{\frac{m}{n}} & = & \sqrt[n]{a^{m}} \\ dla a > 0 : & a^{- \frac{m}{n}} & = & \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}} \end{matrix}$

Niech $r, s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to zachodzą równości: $\begin{matrix} a^{r} \cdot a^{s} & = & a^{r + s} \\ {(a^{r})}^{s} & = & a^{r \cdot s} \\ \frac{a^{r}}{a^{s}} & = & a^{r - s} \\ {(a \cdot b)}^{r} & = & a^{r} \cdot b^{r} \\ {(\frac{a}{b})}^{r} & = & \frac{a^{r}}{b^{r}} \end{matrix}$

Jeżeli wykładniki $r, s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0, b \neq 0$ .