Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych

Prosta $k$ przebija płaszczyznę w punkcie $P$. Prosta $l$ jest rzutem prostokątnym prostej $k$ na tę płaszczyznę. Prosta $m$ leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt $P$.
Wówczas prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej $l$.

Oznaczenia

$P$

pole powierzchni całkowitej

$P_b$

pole powierzchni bocznej

$P_p$

pole powierzchni podstawy

$V$

objętość

Prostopadłościan

$$\begin{array}{ccc}P& =& 2<!--\; InvisibleTimes\; -->(a<!--\; InvisibleTimes\; -->b+b<!--\; InvisibleTimes\; -->c+a<!--\; InvisibleTimes\; -->c)\\ V& =& a<!--\; InvisibleTimes\; -->b<!--\; InvisibleTimes\; -->c\end{array}$$ gdzie $a,b,c$ są długościami krawędzi prostopadłościanu

Graniastosłup prosty

$$\begin{array}{ccc}{P}_b& =& 2<!--\; InvisibleTimes\; -->p·<!--\; middot\; -->h\\ V& =& P_p·<!--\; middot\; -->h\end{array}$$ gdzie $2<!--\; InvisibleTimes\; -->p$ jest obwodem podstawy graniastosłupa

Ostrosłup

$$V=\frac{1}{3}<!--\; InvisibleTimes\; -->P_p·<!--\; middot\; -->h$$ gdzie $h$ jest wysokością ostrosłupa

Walec

$$\begin{array}{ccc}{P}_b& =& 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r<!--\; InvisibleTimes\; -->h\\ P& =& 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r(r+l)\\ V& =& \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r^2<!--\; InvisibleTimes\; -->h\end{array}$$ gdzie $r$ jest promieniem podstawy, $h$ wysokością walca

Stożek

$$\begin{array}{ccc}{P}_b& =& \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r<!--\; InvisibleTimes\; -->l\\ P& =& \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r(r+l)\\ V& =& \frac{1}{3}<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r^2<!--\; InvisibleTimes\; -->h\end{array}$$ gdzie $r$ jest promieniem podstawy, $h$ wysokością, $l$ długością tworzącej stożka

Kula

$$\begin{array}{ccc}P& =& 4<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r^2\\ V& =& \frac{4}{3}<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r^3\end{array}$$ gdzie $r$ jest promieniem kuli