Definicje funkcji trygonometrycznych

$$\begin{array}{lll}\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}& =& \frac{y}{r}\\ \cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}& =& \frac{x}{r}\\ \mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}& =& \frac{y}{x}\text{gdy}x\ne <!--\; \ne \; -->0\end{array}$$ gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}><!--\; >\; -->0$ jest promieniem wodzącym punktu $M$

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Związki między funkcjami tego samego kąta

$${\sin }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+{\cos }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1$$ $$\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\text{dla}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}+k<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\text{k - całkowite}$$

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych

Funkcje sumy i różnicy kątów

Dla dowolnych kątów $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$ zachodzą równości: $$\sin (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$ $$\sin (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$ $$\cos (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$ $$\cos (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$

Ponadto mamy równości: $$\mathrm{tg}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\frac{\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{1-<!--\; -\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}·<!--\; middot\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$ $$\mathrm{tg}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\frac{\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{1+\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}·<!--\; middot\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$ które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.

Funkcje podwojonego kąta

$$\mathrm{tg}2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=2<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\cos 2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={\cos }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->{\sin }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=2<!--\; InvisibleTimes\; -->{\cos }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1=1-<!--\; -\; -->2<!--\; InvisibleTimes\; -->{\sin }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$