Postać ogólna

Postać ogólna funkcji kwadratowej: $$f\left(x\right)=a<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c$$ gdzie: $$a\ne <!--\; \ne \; -->0,x\in <!--\; \in \; -->R$$

Postać kanoniczna

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f\left(x\right)=a<!--\; InvisibleTimes\; -->{(x-<!--\; -\; -->p)}^2+q$$ gdzie: $$\begin{array}{ccc}p& =& -<!--\; -\; -->\frac{b}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}\\ q& =& -<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}{4<!--\; InvisibleTimes\; -->a}\\ \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}& =& b^2-<!--\; -\; -->4<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->c\end{array}$$

Wykres

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $\left(p,q\right)$.
Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy $a><!--\; >\; -->0$, do dołu, gdy $a<<!--\; >\; -->0$.

Miejsca zerowe

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=a{x}^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania $a{x}^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c=0$), zależy od wyróżnika $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=b^2-<!--\; -\; -->4<!--\; InvisibleTimes\; -->ac$:

• jeżeli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}<0$, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych)
• jeżeli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=0$, to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): $$x_1=x_2=-<!--\; -\; -->\frac{b}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$$
• jeżeli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}>0$, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): $$x_1=\frac{-b-<!--\; -\; -->\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$$ $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$$

Postać iloczynowa

Jeśli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->0$, to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: $$f\left(x\right)=a<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-<!--\; -\; -->x_1)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-<!--\; -\; -->x_2)$$

Wzory Viéte'a

Jeżeli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->0$ to: $$x_1+x_2=-<!--\; -\; -->\frac{b}{a}$$ $$x_1·<!--\; middot\; -->x_2=-<!--\; -\; -->\frac{c}{a}$$