Funkcja kwadratowa

Postać ogólna

Postać ogólna funkcji kwadratowej: f ( x ) = a x 2 + b x + c gdzie: a 0 , x R

Postać kanoniczna

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: f ( x ) = a ( x p ) 2 + q gdzie: p = b 2 a q = Δ 4 a Δ = b 2 4 a c

Wykres

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych p q .
Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 , do dołu, gdy a < 0 .

Miejsca zerowe

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f ( x ) = a x 2 + b x + c (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania a x 2 + b x + c = 0 ), zależy od wyróżnika Δ = b 2 4 a c :

  • jeżeli Δ < 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych)
  • jeżeli Δ = 0 , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): x 1 = x 2 = b 2 a
  • jeżeli Δ > 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): x 1 = b Δ 2 a x 2 = b + Δ 2 a

Postać iloczynowa

Jeśli Δ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: f ( x ) = a ( x x 1 ) ( x x 2 )

Wzory Viéte'a

Jeżeli Δ 0 to: x 1 + x 2 = b a x 1 · x 2 = c a