Potęga

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby $a$ definiujemy jej $n$-tą potęgę: $$a^n=\underset{\text{n razy}}{\underset{⏟<!--bottom\; curly\; bracket\; -->}{a·<!--\; middot\; -->\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}·<!--\; middot\; -->a}}$$

Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastkiem arytmetycznym $$\sqrt[n]{a}$$ stopnia $n$ z liczby $a\ge <!--\; \ge \; -->0$ nazywamy liczbę $b\ge <!--\; \ge \; -->0$ taką, że $b^n=a$.

W szczególności, dla dowolnej liczby $a$ zachodzi równość: $$\sqrt{a^n}=\left|a\right|$$

Jeżeli $a\le <!--\; \le \; -->0$ oraz liczba $n$ jest nieparzysta, to $\sqrt[n]{a}$ oznacza liczbę $b<<!--\; <\; -->0$ taką, że $b^n=a$.
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.

Wzór na zmianę podstawy logarytmu

Jeżeli $a><!--\; >\; -->0,a\ne <!--\; \ne \; -->1,b><!--\; >\; -->0,b\ne <!--\; \ne \; -->1$ oraz $c><!--\; >\; -->0$, to: $${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}$$

Silnia

Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ włącznie: $$n!=1·<!--\; middot\; -->2·<!--\; middot\; -->\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}·<!--\; middot\; -->n$$ Ponadto przyjmujemy umowę, że $0!=1$.

Dla dowolnej liczby całkowitej $n\ge <!--\; \ge \; -->0$ zachodzi związek: $$(n+1)!=n!·<!--\; middot\; -->(n+1)$$

Współczynnik dwumianowy (symbol Newtona)

Dla liczb całkowitych $n,k$ spełniających warunki $0\le <!--\; \le \; -->k\le <!--\; \le \; -->n$ definiujemy współczynnik dwumianowy $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ (symbol Newtona): $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!<!--\; InvisibleTimes\; -->(n-<!--\; -\; -->k)!}$$

Zachodzą równości: $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n<!--\; InvisibleTimes\; -->(n-<!--\; -\; -->1)<!--\; InvisibleTimes\; -->(n-<!--\; -\; -->2)·<!--\; middot\; -->\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}·<!--\; middot\; -->(n-<!--\; -\; -->k+1)}{1·<!--\; middot\; -->2·<!--\; middot\; -->3·<!--\; middot\; -->\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}·<!--\; middot\; -->k}$$ $$\begin{array}{ccc}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)& =& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-<!--\; -\; -->k}\right)\\ \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)& =& 1\\ \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)& =& 1\end{array}$$

Ciąg arytmetyczny

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $\left(a_n\right)$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$: $$a_n=a_1+(n-<!--\; -\; -->1)r$$

Wzór na sumę $S_n=a_1+a_2+\mathrm{\cdots <!--\; ctdot\; -->}+a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}·<!--\; middot\; -->n=\frac{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a_1+(n-<!--\; -\; -->1)<!--\; InvisibleTimes\; -->r}{2}·<!--\; middot\; -->n$$

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: $$a_n=\frac{a_{n-<!--\; -\; -->1}+a_{n+1}}{2}\text{dla}n\ge <!--\; \ge \; -->2$$

Ciąg geometryczny

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$ o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$: $$a_n=a_1·<!--\; middot\; -->q^{n-1}$$

Wzór na sumę $S_n=a_1+a_2+\mathrm{\cdots <!--\; ctdot\; -->}+a_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego: $$S_n=\left\{\begin{array}{cc}{a}_1·<!--\; middot\; -->\frac{1-<!--\; -\; -->q^n}{1-<!--\; -\; -->q}& dlaq\ne <!--\; \ne \; -->1\\ n·<!--\; middot\; -->a_1& dlaq=1\end{array}\right.$$

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: $$a_n^2=a_{n-<!--\; -\; -->1}·<!--\; middot\; -->a_{n+1}\text{dla}n\ge <!--\; \ge \; -->2$$

Procent składany

Jeżeli kapitał początkowy $K$ złożymy na $n$ lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi $p\mathrm{\%<!--\; percnt\; -->}$ w skali rocznej, to kapitał końcowy $K_n$ wyraża się wzorem: $$K_n=K·<!--\; middot\; -->{(1+\frac{p}{100})}^n$$

Postać ogólna

Postać ogólna funkcji kwadratowej: $$f\left(x\right)=a<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c$$ gdzie: $$a\ne <!--\; \ne \; -->0,x\in <!--\; \in \; -->R$$

Postać kanoniczna

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: $$f\left(x\right)=a<!--\; InvisibleTimes\; -->{(x-<!--\; -\; -->p)}^2+q$$ gdzie: $$\begin{array}{ccc}p& =& -<!--\; -\; -->\frac{b}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}\\ q& =& -<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}{4<!--\; InvisibleTimes\; -->a}\\ \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}& =& b^2-<!--\; -\; -->4<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->c\end{array}$$

Wykres

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych $\left(p,q\right)$.
Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy $a><!--\; >\; -->0$, do dołu, gdy $a<<!--\; >\; -->0$.

Miejsca zerowe

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=a{x}^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania $a{x}^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c=0$), zależy od wyróżnika $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=b^2-<!--\; -\; -->4<!--\; InvisibleTimes\; -->ac$:

• jeżeli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}<0$, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych)
• jeżeli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=0$, to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): $$x_1=x_2=-<!--\; -\; -->\frac{b}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$$
• jeżeli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}>0$, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): $$x_1=\frac{-b-<!--\; -\; -->\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$$ $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$$

Postać iloczynowa

Jeśli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->0$, to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: $$f\left(x\right)=a<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-<!--\; -\; -->x_1)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-<!--\; -\; -->x_2)$$

Wzory Viéte'a

Jeżeli $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->0$ to: $$x_1+x_2=-<!--\; -\; -->\frac{b}{a}$$ $$x_1·<!--\; middot\; -->x_2=-<!--\; -\; -->\frac{c}{a}$$

Odcinek

Długość odcinka o końcach w punktach $A=\left(x_A,y_A\right)$, $B=\left(x_B,y_B\right)$ dana jest wzorem: $$\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{(x_B-<!--\; -\; -->x_A)}^2+{(y_B-<!--\; -\; -->y_A)}^2}$$

Współrzędne środka odcinka $\mathrm{AB}$: $$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Wektory

Współrzędne wektora $\stackrel{\_}{\mathrm{AB}}$: $$\stackrel{\_}{\mathrm{AB}}=\left[x_B-<!--\; -\; -->x_A,y_B-<!--\; -\; -->y_A\right]$$

Jeżeli $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}=\left[u_1,u_2\right]$, $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=\left[v_1,v_2\right]$ są wektorami, zaś $a$ jest liczbą, to: $$\begin{array}{ccc}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}& =& \left[u_1+v_1,u_2+v_2\right]\\ a·<!--\; middot\; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}& =& \left[a·<!--\; middot\; -->u_1,a·<!--\; middot\; -->u_2\right]\end{array}$$

Prosta

Równanie ogólne prostej: $$A<!--\; InvisibleTimes\; -->x+B<!--\; InvisibleTimes\; -->y+C=0$$ gdzie $A^2+B^2\ne <!--\; \ne \; -->0$ (tj. współczynniki $A,B$ nie są równocześnie równe $0$ ).

Jeżeli:

• $A=0$ - to prosta jest równoległa do osi $\mathrm{Ox}$
• $B=0$ - to prosta jest równoległa do osi $\mathrm{Oy}$
• $C=0$ - to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych

Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi $\mathrm{Oy}$, to ma ona równanie kierunkowe: $$y=a<!--\; InvisibleTimes\; -->x+b$$

Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy prostej: $$a=\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$

Współczynnik $b$ wyznacza na osi $\mathrm{Oy}$ punkt, w którym dana prosta ją przecina.

Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym $a$, która przechodzi przez punkt $P=\left(x_0,y_0\right)$: $$y=a<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-<!--\; -\; -->x_0)+y_0$$

Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty $A=\left(x_A,y_A\right)$, $B=\left(x_B,y_B\right)$: $$(y-<!--\; -\; -->y_A)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x_B-<!--\; -\; -->x_A)-<!--\; -\; -->(y_B-<!--\; -\; -->y_A)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-<!--\; -\; -->x_A)=0$$

Prosta i punkt

Odległość punktu $P=\left(x_0,y_0\right)$, od prostej o równaniu $$A<!--\; InvisibleTimes\; -->x+B<!--\; InvisibleTimes\; -->y+C=0$$ jest dana wzorem: $$\frac{|A<!--\; InvisibleTimes\; -->x_0+B<!--\; InvisibleTimes\; -->y_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Para prostych

Dwie proste o równaniach kierunkowych: $$y=a_1<!--\; InvisibleTimes\; -->x+b_1$$ $$y=a_2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+b_2$$ spełniają jeden z następujących warunków:

• są równoległe, gdy $a_1=a_2$
• są prostopadłe, gdy $a_1<!--\; InvisibleTimes\; -->a_2=-<!--\; -\; -->1$
• tworzą kąt ostry $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$ i $$\mathrm{tg}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\left|\frac{a_1-<!--\; -\; -->a_2}{1+a_1<!--\; InvisibleTimes\; -->a_2}\right|$$

Dwie proste o równaniach ogólnych: $$A_1<!--\; InvisibleTimes\; -->x+B_1<!--\; InvisibleTimes\; -->y+C_1=0$$ $$A_2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+B_2<!--\; InvisibleTimes\; -->y+C_2=0$$

• są równoległe, gdy $A_1<!--\; InvisibleTimes\; -->B_2-<!--\; -\; -->A_2<!--\; InvisibleTimes\; -->B_1=0$
• są prostopadłe, gdy $A_1<!--\; InvisibleTimes\; -->A_2-<!--\; -\; -->B_1<!--\; InvisibleTimes\; -->B_2=0$
• tworzą kąt ostry $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$ i $$\mathrm{tg}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=\left|\frac{A_1<!--\; InvisibleTimes\; -->B_2-<!--\; -\; -->A_2<!--\; InvisibleTimes\; -->B_1}{A_1<!--\; InvisibleTimes\; -->A_2+B_1<!--\; InvisibleTimes\; -->B_2}\right|$$

Trójkąt

Pole trójkąta $\mathrm{ABC}$ o wierzchołkach $A=\left(x_A,y_A\right)$, $B=\left(x_B,y_B\right)$, $C=\left(x_C,y_C\right)$, jest dane wzorem: $$P_{\text{△ABC}}=\frac{1}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->|(x_B-<!--\; -\; -->x_A)<!--\; InvisibleTimes\; -->(y_C-<!--\; -\; -->y_A)-<!--\; -\; -->(y_B-<!--\; -\; -->y_A)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x_C-<!--\; -\; -->x_A)|$$

Środek ciężkości trójkąta $\mathrm{ABC}$, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne: $$\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$$

Przekształcenia geometryczne

• przesunięcie o wektor $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}=\left[a,b\right]$ przekształca punkt $A=\left(x,y\right)$ na punkt $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\left(x+a,y+b\right)$
• symetria względem osi $\mathrm{Ox}$ przekształca punkt $A=\left(x,y\right)$ na punkt $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\left(x,-<!--\; -\; -->y\right)$
• symetria względem osi $\mathrm{Oy}$ przekształca punkt $A=\left(x,y\right)$ na punkt $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\left(-<!--\; -\; -->x,y\right)$
• symetria względem punktu $\left(a,b\right)$ przekształca punkt $A=\left(x,y\right)$ na punkt $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\left(2<!--\; InvisibleTimes\; -->a-<!--\; -\; -->x,2<!--\; InvisibleTimes\; -->b-<!--\; -\; -->y\right)$
• jednokładność o środku w punkcie $\left(0,0\right)$ i skali $s\mathrm{\ne <!--\; \ne \; -->}0$ przekształca punkt $A=\left(x,y\right)$ na punkt $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}=\left(s<!--\; InvisibleTimes\; -->x,s<!--\; InvisibleTimes\; -->y\right)$

Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku w punkcie $S=\left(a,b\right)$ i promieniu $r><!--\; >\; -->0$: $${(x-<!--\; -\; -->a)}^2+{(y-<!--\; -\; -->b)}^2=r^2$$ lub $$x^2+y^2-<!--\; -\; -->2<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->x-<!--\; -\; -->2<!--\; InvisibleTimes\; -->b<!--\; InvisibleTimes\; -->y+c=0$$ gdy $r^2=a^2+b^2-<!--\; -\; -->c><!--\; >\; -->0$.

Cechy przystawania trójkątów

To, że dwa trójkąty $\mathrm{ABC}$ i $\mathrm{DEF}$ są przystające ( $△\mathrm{ABC}\equiv <!--\; \equiv \; -->△\mathrm{DEF}$), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów:

• cecha przystawania bok – bok – bok:
  odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: $\left|\mathrm{AB}\right|=\left|\mathrm{DE}\right|$, $\left|\mathrm{AC}\right|=\left|\mathrm{DF}\right|$, $\left|\mathrm{BC}\right|=\left|\mathrm{EF}\right|$
• cecha przystawania bok – kąt – bok:
  dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np. $\left|\mathrm{AB}\right|=\left|\mathrm{DE}\right|$, $\left|\mathrm{AC}\right|=\left|\mathrm{DF}\right|$, $\left|\measuredangle \mathrm{BAC}\right|=\left|\measuredangle \mathrm{EDF}\right|$
• cecha przystawania kąt – bok – kąt:
  jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np. $\left|\mathrm{AB}\right|=\left|\mathrm{DE}\right|$, $\left|\measuredangle \mathrm{BAC}\right|=\left|\measuredangle \mathrm{EDF}\right|$, $\left|\measuredangle \mathrm{ABC}\right|=\left|\measuredangle \mathrm{DEF}\right|$

Cechy podobieństwa trójkątów

To, że dwa trójkąty $\mathrm{ABC}$ i $\mathrm{DEF}$ są podobne ( $△\mathrm{ABC}\sim <!--\; \sim \; -->△\mathrm{DEF}$), możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów:

• cecha podobieństwa bok – bok – bok:
  długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta, np. $\frac{\left|\mathrm{AB}\right|}{\left|\mathrm{DE}\right|}=\frac{\left|\mathrm{AC}\right|}{\left|\mathrm{DF}\right|}=\frac{\left|\mathrm{BC}\right|}{\left|\mathrm{EF}\right|}$
• cecha podobieństwa bok – kąt – bok:
  długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające, np. $\frac{\left|\mathrm{AB}\right|}{\left|\mathrm{DE}\right|}=\frac{\left|\mathrm{AC}\right|}{\left|\mathrm{DF}\right|}$, $\left|\measuredangle \mathrm{BAC}\right|=\left|\measuredangle \mathrm{EDF}\right|$
• cecha podobieństwa kąt – kąt – kąt:
  dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta (więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające): $\left|\measuredangle \mathrm{BAC}\right|=\left|\measuredangle \mathrm{EDF}\right|$, $\left|\measuredangle \mathrm{ABC}\right|=\left|\measuredangle \mathrm{DEF}\right|$, $\left|\measuredangle \mathrm{ACB}\right|=\left|\measuredangle \mathrm{DFE}\right|$

Trójkąt

Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie $\mathrm{ABC}$:

$a,b,c$

- długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków $A,B,C$

$2<!--\; InvisibleTimes\; -->p=a+b+c$

- obwód trójkąta

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$

- miary kątów przy wierzchołkach $A,B,C$

$h_a,h_b,h_c$

- wysokości opuszczone z wierzchołków $A,B,C$

$R,r$

- promienie okręgów opisanego i wpisanego

Twierdzenie Talesa

Jeżeli proste równoległe ${\mathrm{AA}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$ i ${\mathrm{BB}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie $O$, to: $$\frac{\left|\mathrm{OA}\right|}{\left|{\mathrm{OA}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\right|}=\frac{\left|\mathrm{OB}\right|}{\left|{\mathrm{OB}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\right|}$$

Czworokąty

Koło

Wzór na pole koła o promieniu $r$: $$P=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r^2$$

Obwód koła o promieniu $r$: $$\mathrm{Ob}=2<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r$$

Wycinek koła

Wzór na pole wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$ wyrażonym w stopniach: $$P=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r^2·<!--\; middot\; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{360\mathrm{°<!--\; °\; -->}}$$

Długość łuku wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: $$l=2<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r·<!--\; middot\; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{360\mathrm{°<!--\; °\; -->}}$$

Kąty w okręgu

Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe.

Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą

Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$ i jego cięciwa $\mathrm{AB}$. Prosta $\mathrm{AC}$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Wtedy $$\left|\measuredangle \mathrm{AOB}\right|=2·<!--\; middot\; -->\left|\measuredangle \mathrm{CAB}\right|$$, przy czym wybieramy ten z kątów środkowych $\mathrm{AOB}$, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta $\mathrm{CAB}$.

Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej

Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach $A$ i $B$ oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie $C$. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie $P$, to: $$\left|\mathrm{PA}\right|·<!--\; middot\; -->\left|\mathrm{PB}\right|={\left|\mathrm{PC}\right|}^2$$

Okrąg opisany na czworokącie

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°: $$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=180\mathrm{°<!--\; °\; -->}$$

Okrąg wpisany w czworokąt

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: $$a+c=b+d$$

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych

Prosta $k$ przebija płaszczyznę w punkcie $P$. Prosta $l$ jest rzutem prostokątnym prostej $k$ na tę płaszczyznę. Prosta $m$ leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt $P$.
Wówczas prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej $l$.

Oznaczenia

$P$

pole powierzchni całkowitej

$P_b$

pole powierzchni bocznej

$P_p$

pole powierzchni podstawy

$V$

objętość

Prostopadłościan

$$\begin{array}{ccc}P& =& 2<!--\; InvisibleTimes\; -->(a<!--\; InvisibleTimes\; -->b+b<!--\; InvisibleTimes\; -->c+a<!--\; InvisibleTimes\; -->c)\\ V& =& a<!--\; InvisibleTimes\; -->b<!--\; InvisibleTimes\; -->c\end{array}$$ gdzie $a,b,c$ są długościami krawędzi prostopadłościanu

Graniastosłup prosty

$$\begin{array}{ccc}{P}_b& =& 2<!--\; InvisibleTimes\; -->p·<!--\; middot\; -->h\\ V& =& P_p·<!--\; middot\; -->h\end{array}$$ gdzie $2<!--\; InvisibleTimes\; -->p$ jest obwodem podstawy graniastosłupa

Ostrosłup

$$V=\frac{1}{3}<!--\; InvisibleTimes\; -->P_p·<!--\; middot\; -->h$$ gdzie $h$ jest wysokością ostrosłupa

Walec

$$\begin{array}{ccc}{P}_b& =& 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r<!--\; InvisibleTimes\; -->h\\ P& =& 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r(r+l)\\ V& =& \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r^2<!--\; InvisibleTimes\; -->h\end{array}$$ gdzie $r$ jest promieniem podstawy, $h$ wysokością walca

Stożek

$$\begin{array}{ccc}{P}_b& =& \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r<!--\; InvisibleTimes\; -->l\\ P& =& \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r(r+l)\\ V& =& \frac{1}{3}<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r^2<!--\; InvisibleTimes\; -->h\end{array}$$ gdzie $r$ jest promieniem podstawy, $h$ wysokością, $l$ długością tworzącej stożka

Kula

$$\begin{array}{ccc}P& =& 4<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r^2\\ V& =& \frac{4}{3}<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->r^3\end{array}$$ gdzie $r$ jest promieniem kuli

Definicje funkcji trygonometrycznych

$$\begin{array}{lll}\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}& =& \frac{y}{r}\\ \cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}& =& \frac{x}{r}\\ \mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}& =& \frac{y}{x}\text{gdy}x\ne <!--\; \ne \; -->0\end{array}$$ gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}><!--\; >\; -->0$ jest promieniem wodzącym punktu $M$

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Związki między funkcjami tego samego kąta

$${\sin }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+{\cos }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1$$ $$\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\text{dla}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}+k<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\text{k - całkowite}$$

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych

Funkcje sumy i różnicy kątów

Dla dowolnych kątów $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$ zachodzą równości: $$\sin (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$ $$\sin (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$ $$\cos (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$ $$\cos (\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$

Ponadto mamy równości: $$\mathrm{tg}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\frac{\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{1-<!--\; -\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}·<!--\; middot\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$ $$\mathrm{tg}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=\frac{\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{1+\mathrm{tg}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}·<!--\; middot\; -->\mathrm{tg}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$$ które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.

Funkcje podwojonego kąta

$$\mathrm{tg}2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=2<!--\; InvisibleTimes\; -->\sin \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}<!--\; InvisibleTimes\; -->\cos \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$ $$\cos 2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={\cos }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->{\sin }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=2<!--\; InvisibleTimes\; -->{\cos }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1=1-<!--\; -\; -->2<!--\; InvisibleTimes\; -->{\sin }^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$

Wariacje z powtórzeniami

Liczba sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa: $$n^k$$

Wariacje bez powtórzeń

Liczba sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k(1\le <!--\; \le \; -->k\le <!--\; \le \; -->n)$ różnych wyrazów, jest równa: $$n·<!--\; middot\; -->(n-<!--\; -\; -->1)·<!--\; middot\; -->\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}·<!--\; middot\; -->(n-<!--\; -\; -->k+1)=\frac{n!}{(n-<!--\; -\; -->k)!}$$

Permutacje

Liczba sposobów, na które $n\ge <!--\; \ge \; -->1$ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa: $$n!$$

Kombinacje

Liczba sposobów, na które spośród $n$ różnych elementów można wybrać $k(0\le <!--\; \le \; -->k\le <!--\; \le \; -->n)$ elementów, jest równa: $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$$

Własności prawdopodobieństwa

$0\le <!--\; \le \; -->P\left(A\right)\le <!--\; \le \; -->1$   dla każdego zdarzenia $A\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$

$P\left(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\right)=1$   $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ — zdarzenie pewne

$P\left(\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\right)=0$   $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$ — zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$)

$P\left(A\right)\le <!--\; \le \; -->P\left(B\right)$   gdy $A\subset <!--\; \subset \; -->B\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$

$P\left(A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\right)=1-<!--\; -\; -->P\left(A\right)$   gdzie $A^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A$

$P\left(A∪B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-<!--\; -\; -->P\left(A∩B\right)$   dla dowolnych zdarzeń $A,B\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$

$P\left(A∪B\right)\le <!--\; \le \; -->P\left(A\right)+P\left(B\right)$   dla dowolnych zdarzeń $A,B\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Niech $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia $A\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ jest równe $$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\right|}$$ gdzie $A$ oznacza liczbę elementów zbioru $A$, zaś $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$ — liczbę elementów zbioru $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna $n$ liczb $a_1,a_2,\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->},a_n$ jest równa: $$\stackrel{-}{a}=\frac{a_1+a_2+\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}+a_n}{n}$$

Średnia ważona

Średnia ważona $n$ liczb $a_1,a_2,\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->},a_n$, którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi $w_1,w_2,\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->},w_n$ jest równa: $$\frac{w_1·<!--\; middot\; -->a_1+w_2·<!--\; middot\; -->a_2+\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}+w_n·<!--\; middot\; -->a_n}{w_1+w_2+\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}+w_n}$$

Średnia geometryczna

Średnia geometryczna $n$ nieujemnych liczb $a_1,a_2,\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->},a_n$ jest równa: $$\sqrt[n]{a_1·<!--\; middot\; -->a_1·<!--\; middot\; -->\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}·<!--\; middot\; -->a_n}$$

Mediana

Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru $n$ danych liczbowych $a_1\le <!--\; \le \; -->a_2\le <!--\; \le \; -->a_3\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}\le <!--\; \le \; -->a_n$ jest:

• dla $n$ nieparzystych: $a_{\frac{n+1}{2}}$ (środkowy wyraz ciągu)
• dla $n$ parzystych: $\frac{1}{2}<!--\; InvisibleTimes\; -->(a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1})$ (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu)

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancją $n$ danych liczbowych $a_1,a_2,\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->},a_n$ o średniej arytmetycznej $\stackrel{-}{a}$ jest liczba: $${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2=\frac{{(a_1-<!--\; -\; -->\stackrel{-}{a})}^2+{(a_2-<!--\; -\; -->\stackrel{-}{a})}^2+\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}+{(a_n-<!--\; -\; -->\stackrel{-}{a})}^2}{n}=\frac{a_1^2+a_2^2+\mathrm{\dots <!--\; \dots \; -->}+a_n^2}{n}-<!--\; -\; -->{\left(\stackrel{-}{a}\right)}^2$$ Odchylenie standardowe $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.